Normalenvektoren

Normalenvektoren sind Nicht-Null-Vektoren, die zu einer geometrischen Figur senkrecht stehen. In der Ebene sind sie senkrecht zur Geraden, in der Raum zu Flächen oder Kurven, je nachdem welche Form beschrieben wird. Sie geben die Orientierung einer Fläche oder Linie an und sind nur bis zu einer Skalierung eindeutig, das heißt n und −n sind beide gültige Normalenvektoren.

Ein Feldelement der Geometrie: Für eine Ebene in drei Dimensionen, die durch eine Gleichung ax + by + cz = d beschrieben wird, ist der Vektor n = (a, b, c) der Normalenvektor der Ebene. Jede nichtNull-Vielfache von n ist ebenfalls ein Normalenvektor der gleichen Ebene. Die Richtung von n bestimmt, ob die Seite der Ebene in die positive oder negative Richtung zeigt.

Über Funktionen und Gradienten ergibt sich eine zentrale Interpretation: Ist eine Oberfläche durch eine Gleichung F(x, y, z) = 0 definiert, dann ist der Gradient ∇F = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) normal zur Oberfläche an jedem Punkt, an dem ∇F ≠ 0. Beispiel: Für eine Kugel x^2 + y^2 + z^2 = R^2 ist ∇F = (2x, 2y, 2z), also der Vektor vom Ursprung zum Punkt auf der Kugel.

In der Ebene einer Geraden g: ax + by = c, ist der Normalenvektor n = (a, b). Der Richtungsvektor der Geraden liegt senkrecht zu n, z. B. (−b, a).

Der Normalenvektor ermöglicht Berechnungen wie den Winkel zwischen einer Geraden bzw. einer Ebene, Projektionen auf Ebenen, oder die Bestimmung der Normalenlinie durch einen Punkt. Der Richtungsvektor eines Normalenvektors ist eindeutig bis auf Vorzeichen. Eine Einheitsnormale erhält man durch n̂ = n/||n||.