Koordinatenunabhängig

Koordinatenunabhängig bedeutet, dass ein Objekt, eine Größe oder eine Gleichung ohne die Wahl eines konkreten Koordinatensystems beschrieben wird. Solche Beschreibungen beruhen auf intrinsischen Strukturen wie Vektorräumen, Mannigfaltigkeiten, Tensoren, Metriken oder Verbindungen und bleiben unter Koordinatentransformationen unverändert.

In der Mathematik wird Koordinatenunabhängigkeit oft durch eine intrinsische Formulierung erreicht. Eigenschaften wie Dimension, Rang oder das Spektrum einer linearen Abbildung sind basisunabhängig. In der Differentialgeometrie werden Objekte wie Tensoren, Differentialformen und der Abstand oder die Geodätische durch Strukturen einer Mannigfaltigkeit definiert und benötigen keine spezifische Koordinatentabelle. Die Beschreibung erfolgt meist durch verknüpfte Operationen, die unabhängig von der Wahl der Koordinaten sind.

In der Physik gilt allgemein die Koordinatenunabhängigkeit oder Allgemeine Kovarianz: Gesetze werden so formuliert, dass sie unter Koordinatentransformationen gültig bleiben. Tensoren und Differentialformen ermöglichen eine solche Formulierung, wodurch die Gesetze unabhängig vom Beobachter oder vom Koordinatensystem sind. Empirische Größen wie Messgrößen oder scalare Größen sind Koordinatenunabhängige Objekte, die Werte liefern, unabhängig von der gewählten Darstellung.

Beispiele für Koordinatenunabhängigkeit sind der Abstand zweier Punkte auf einer Mannigfaltigkeit, der durch eine Metrik definierte Abstand; die intrinsische Norm eines Vektors bei einem gegebenen inneren Produkt; oder invarianten Größen wie der Trace eines Operators (basises unabhängig). Nicht alle Konstrukte, wie die Determinante einer Matrix, sind koordiniertensorunabhängig, da solche Größen oft von der gewählten Basis abhängen.

Anwendungen finden sich in Mathematik, Physik und Technik, etwa in der formelfreien Darstellung von Geometrie, in der Relativitätstheorie oder bei der Entwicklung koordiniertunabhängiger numerischer Algorithmen.