Konjugierttransponierte

Konjugierttransponierte, auch Hermitesche Transponierte genannt, bezeichnet in der linearen Algebra die Transponierte einer komplexen Matrix mit anschließender komplexer Konjugation jeder Eintragung. Für eine Matrix A ∈ C^{m×n} ist A^H ∈ C^{n×m}, wobei A^H = (A^T)̄ = ā^T. In vielen Texten wird A^H auch als A^* bezeichnet. Für reale Matrizen gilt A^H = A^T.

Wichtige Eigenschaften sind: (A^H)^H = A, (AB)^H = B^H A^H, und (αA)^H = ᾱ A^H für jedes Skalar α (das Skalar wird konjugiert). Wenn A real ist, reduziert sich A^H auf die normale Transponierte A^T.

Eine Matrix mit A^H = A wird als Hermitesch oder selbstadjungiert bezeichnet; ihre Eigenwerte sind reell, und ihre Eigenvektoren können orthogonal gewählt werden. Eine Matrix A ist unitär, sofern A^H A = A A^H = I gilt; dann gilt A^{-1} = A^H und A erhält eine rein rotations- bzw. Phasen-Charakteristik. Die Konjugierttransponierte ist auch zentral bei inneren Produkten: Für Vektoren x, y gilt das Skalarprodukt x^H y.

Beispiele: Sei A = [[1+i, 2], [3, -i]]; dann ist A^H = [[1−i, 3], [2, i]]. Für reale Matrizen entspricht A^H einfach A^T.

Anwendungen finden sich in der Lösung linearer Gleichungssysteme (Least Squares), bei der Bestimmung von Gram-Matrizen, in der Quantenmechanik und in der Signalverarbeitung, wo komplexe Vektorräume und das Skalarprodukt mit konjugierttransponierter Gestaltung arbeiten.