Komponentenverteilungen

Komponentenverteilungen bezeichnen in der Statistik die einzelnen Verteilungen, aus denen eine Mischverteilung besteht. Eine endliche Mischverteilung (finite mixture model) wird häufig geschrieben als f(x) = sum_{k=1}^K pi_k f_k(x), wobei die Mischgewichte pi_k > 0 sind und sum_k pi_k = 1. Die Funktionen f_k(x) heißen Komponentendichten und beschreiben die Verteilung der Daten innerhalb der jeweiligen Komponente. Die Anzahl der Komponenten K sowie die Parameter der f_k und pi_k müssen oft aus den Daten abgeleitet werden.

In Praxis kommen verschiedene Arten von Komponentenverteilungen vor. Am häufigsten werden Gaußverteilungen als Komponenten verwendet (Gaussian Mixture Models), es sind aber auch diskrete Dichten wie Poisson oder kontinuierliche Dichten wie Exponential möglich. Komponenten können innerhalb einer Mischung homogen sein oder verschiedene Familien kombinieren. Mischverteilungen ermöglichen flexible Modellierung von multimodalen, schiefen oder heterogenen Daten.

Die Identifizierbarkeit einer Mischung kann problematisch: Die Bezeichnung der Komponenten ist nach der Schätzung oft vertauschbar (Label Switching). Außerdem muss die passende Anzahl K gewählt werden; Kriterien wie BIC, AIC oder Cross-Validation unterstützen dies. Die Parameter der Mischung lassen sich typischerweise durch Maximum-Likelihood-Schätzung bestimmen, häufig über den EM-Algorithmus; auch Bayes'sche Methoden (MCMC, Variational Inference) kommen zum Einsatz.

Anwendungen finden sich in der Clusteranalyse, Dichteabschätzung, Anomalieerkennung, Bildsegmentierung oder Genomik sowie in der Signalverarbeitung. Alternativen zu endlichen Mischungen umfassen unendliche Mischungen wie Dirichlet-Prozess-Mischmodelle, die eine flexible Anpassung der Anzahl der Komponenten ermöglichen.

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