Mischverteilungen
Mischverteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die durch eine gewichtete Mischung mehrerer Teilverteilungen entstehen. Gegeben seien K Componenten mit Verteilungsfunktionen F_k und Dichten f_k sowie Gewichte π_k ≥ 0 mit der Eigenschaft Summe_k π_k = 1. Dann wird eine Zufallsvariable X gemäß einer Mischverteilung beschrieben, wenn P(X ∈ A) = Σ_{k=1}^K π_k P_k(X ∈ A) für alle Ereignisse A gilt.
Falls jeder Teil eine Dichte besitzt, ergibt sich die Mischdichte f(x) = Σ π_k f_k(x) und die Mischverteilungsfunktion
Typische Anwendungen betreffen Clustering, Dichteschätzung, Anomalieerkennung und die Modellierung heterogener Daten. Die Komponenten können identisch in
Eigenschaften: Der Erwartungswert ist E[X] = Σ π_k μ_k, wobei μ_k der Erwartungswert der k-ten Komponente ist. Die
Parameter-Schätzung erfolgt üblicherweise durch Maximum-Likelihood-Schätzung unter Berücksichtigung latenter Klassen (EM-Algorithmus) oder durch Bayes-Verfahren mit MCMC. Die
Herausforderungen umfassen Identifizierbarkeit (Permutationsinvarianz der Komponenten), Abhängigkeiten zwischen Parametern, Initializationsempfindlichkeit und Überanpassung. Mischverteilungen bieten flexible