Kernelnormen

Kernelnormen zijn normen die worden toegepast op een kernel in de wiskunde. Een kernel is meestal een functie K die gedefinieerd is op een productruimte X × X naar de veldwaarde (meestal de reële of complexe getallen), of in discrete gevallen een matrix. Een kernel bepaalt vaak een integraaloperator T_K op een geschikte functieruimte via T_K f(x) = ∫ K(x,y) f(y) dy. De kernnormen geven de grootte, regulariteit of handelswijze van de kernel en/of van de bijbehorende operator weer.

In de praktijk worden verschillende normen gebruikt, afhankelijk van het type kernel en de context. Bij continue kernelfuncties gesproken over normen zoals de Hilbert–Schmidt norm en de L-infty- (essentiële bovengrens) norm. De Hilbert–Schmidt norm van een kernel wordt gedefinieerd als ||K||_{HS} =(⎰⎱⎱⎱⎱ ∬ |K(x,y)|^2 dx dy)^{1/2}, wat overeenkomt met de L2-norm van de kernel. Voor de bijbehorende integraaloperator T_K geldt vaak de bound ||T_K|| ≤ ||K||_{HS}.

In discrete gevallen, wanneer de kernel wordt voorgesteld als een matrix K, komen normen als de Frobeniusnorm en de spectrale norm naar voren. De Frobeniusnorm ||K||_F = sqrt(∑_{i,j} K_{ij}^2) is gelijk aan de Hilbert–Schmidt-norm voor matrices, en de spectrale norm ||K||_2 is de grootste singuliere waarde. Daarnaast bestaan er voor operators de tracenorm (nucleaire norm) en generieke Schatten-normen.

Toepassingen van kernelnormen liggen onder meer in de functionaalanalyse, de studie van integraaloperatoren en regulieringsmethoden in machine learning via reproducing kernel Hilbert spaces. See also: Reproducerende kernel-Hilbertruimte, Hilbert–Schmidt-operator, Schatten-normen, kernelmethoden.