Kernelglättung

Kernelglättung ist eine Gruppe nichtparametrischer Verfahren zur Glättung von Daten oder zur Schätzung zusammengesetzter Funktionen wie Wahrscheinlichkeitsdichten oder Regressionsfunktionen. Ziel ist es, aus einer Stichprobe X1, X2, ..., Xn eine glatte Schätzung f_hat(x) oder m_hat(x) zu gewinnen, ohne stark parametrisierte Modelle zu verwenden. Der Kerneneffekt beruht darauf, Beobachtungen in der Umgebung eines Punkts x mit Gewichten zu versehen und deren Werte zu einem lokalen Mittelwert zusammenzufassen. Eine typische Form ist f_hat(x) = (1/(n h)) ∑_{i=1}^n K((x - X_i)/h), wobei K die Kernel-Funktion und h die Bandbreite (Smoothing-Parameter) ist.

Kernel-Funktionen und Bandbreite spielen eine zentrale Rolle. Beliebte Kernel-Funktionen sind der Gaußsche Kernel, der Epanechnikov-Kern, der Uniform-Kern oder der Dreiecks-Kern; sie sind nicht negativ und integrieren sich zu eins. Die Bandbreite h steuert den Glättungsgrad: Ein kleines h führt zu starker Anpassung an die Daten, während ein großes h zu stärkerer Glättung führt. Die Bandbreite wird oft durch Regel der Daumen, Kreuzvalidierung oder Plug-in-Verfahren gewählt. In der Mehrdimensionalen können Bandbreiten durch Matrizen angedeutet werden.

Anwendungen befinden sich vor allem in der Dichteschätzung (Kernel Density Estimation, KDE) und in der Kernel-Regression (z. B. Nadaraya-Watson). KDE schätzt f(x) als Durchschnitt der Kernel-Gewichte um x; Kernel-Regression schätzt m(x) similarly durch gewichtete Mittel der y-Werte. Kernelglättung wird auch in Zeitreihen, Signalverarbeitung oder Bildverarbeitung eingesetzt. Wichtige Eigenschaften sind der Bias-Varianz-Handel, asymptotische Eigenschaften und Randprobleme (Boundary-Bias); im Mehrdimensionalen gilt die Fluch der Dimensionalität. Computationally lassen sich Kernel-Glättungen mit FFT-Techniken oder schnellen Nachbarschafts-Suchen effizient realisieren.