Integrationsfunktionen

Integrationsfunktionen sind Begriffe der Analysis, die den Prozess der Integration beschreiben. Im engeren Sinn bezeichnet man damit Antiderivate: Funktionen F, deren Ableitung F' = f ist. Dann ist F eine Stammfunktion von f, und F(x) = ∫ f(t) dt + C. Über definite Integrale spricht man von Werten ∫_a^b f(x) dx, die das Ergebnis einer Integrationsoperation darstellen; der Wert hängt von der Funktion f und von den Grenzen ab.

Zu den grundlegenden Eigenschaften gehört die Linearität des Integrals: ∫ (αf + βg) dx = α∫ f dx + β∫ g dx. Substitution, Integration durch Teile und Partialbruchzerlegung sind zentrale Techniken. Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung verbindet Differentiation und Integration: Wenn f auf [a,b] stetig ist, definiert F(x) = ∫_a^x f(t) dt eine Antiderivate von f, und F'(x) = f(x).

Neben der analytischen Berechnung gibt es numerische Integrationsfunktionen, die Approximationen liefern. Zu den gängigsten Verfahren gehören die Trapezregel, die Simpsonregel und Gauss-Quadratur; adaptive Algorithmen passen die Schrittweite an, um Fehler besser zu kontrollieren.

Anwendungen der Integrationsfunktionen finden sich in Physik (Arbeit, Energie), Stochastik (Kumulative Verteilungsfunktionen), Geometrie (Flächen- und Volumenberechnungen) und Ingenieurwissenschaften. Wichtige Einschränkungen betreffen Existenz und Konvergenz unendlicher oder unregelmäßiger Integrale sowie Fragen der Stabilität numerischer Verfahren.