Integrabilität

Integrabilität bezeichnet in der Mathematik und Physik die Eigenschaft eines dynamischen Systems, durch ausreichende Integrale der Bewegung vollständig oder stark eingeschränkt lösbar zu sein. Im klassischen Hamilton-System bedeutet Integrabilität, dass ein System mit n Freiheitsgraden n unabhängige Integrale besitzt, die miteinander in Involution stehen (Poisson-kommutieren). Unter dieser Bedingung lassen sich die Gleichungen der Bewegung oft durch Quadraturen lösen; in geeigneten Koordinaten, den Aktionswinkel-Variablen, sind die Bahnen auf invarianten Tori strukturiert und die Bewegung meist quasi-periodisch.

Nicht jedes System ist integrierbar. Typische Beispiele gut interpretierbarer, integrierbarer Systeme sind der eindimensionale harmonische Oszillator und das zwei-Körper-Problem in der Gravitation; das Pendel ist ebenfalls integrierbar. Perturbationen können Integrabilität brechen und zu komplexeren, oft chaotischen Bewegungen führen. Die KAM-Theorie beschreibt, wie viele der Integrale unter kleinen Störungen erhalten bleiben und nur teilweise die Struktur der Bewegung bewahren.

Eine weitere wichtige Klasse sind vollständig integrierbare Systeme mit unendlich vielen Integralen, wie es bei vielen nichtlinearen Feldgleichungen der Fall ist. In der Theorie der Solitonen spielen solche Systeme eine zentrale Rolle: Beispiele sind die Korteweg–de Vries-Gleichung, die sin-Gordon-Gleichung und die nichtlineare Schrödinger-Gleichung. Sie besitzen eine unendliche Hierarchie von Erhaltungsgrößen und lassen sich oft durch die Inverse-Streuungstransform oder über Lax-Paar-Strukturen lösen.

In der Quantenmechanik spricht man von Quantenintegrabilität, etwa wenn es Mengen von kommutierenden Operatoren gibt, die das Spektrum bestimmen. Die Definitionen variieren je nach Kontext, doch bleibt das Kernkonzept: Integrabilität bedeutet eine stärkere Einschränkung der Dynamik und oft eine vollständige Lösbarkeit.