Integrabilidad

Integrabilidad es una propiedad de ciertos sistemas dinámicos o ecuaciones que permite describir su comportamiento de forma exacta o mediante resoluciones por cuadraturas. En matemáticas y física se aplica tanto a sistemas finitos, como en mecánica clásica o cuántica, como a ecuaciones en derivadas parciales o discretas. En términos generales, implica la existencia de estructuras que facilitan la resolución exacta del problema.

En mecánica hamiltoniana, la integrabilidad de Liouville se produce cuando un sistema con n grados de libertad tiene n integrales de movimiento independientes y en involución respecto al bracket de Poisson. Esta condición permite transformar el sistema a variables de acción y ángulo, y la dinámica se reduce a movimientos lineales sobre variedades tipo toro. En particular, las órbitas son cuasi periódicas.

Para ecuaciones en derivadas parciales y sistemas integrables en sentido clásico, suele haber una jerarquía infinita de cantidades conservadas. Muchas de estas integrales se asocian a un par Lax y a la transformada de scattering inversa. Ecuaciones emblemáticas incluyen la Korteweg–de Vries, la ecuación de Schrödinger no lineal, la sine-Gordon y la red de Toda. En el ámbito cuántico y de sistemas discretos, la integrabilidad se relaciona con solvabilidad exacta por el ansatz de Bethe y con la ecuación de Yang–Baxter; ejemplos son el modelo de Heisenberg y el gas de Lieb–Liniger.

Limitaciones y pruebas: la integrabilidad es frágil frente a perturbaciones; la teoría de KAM describe la persistencia de tori bajo perturbaciones pequeñas, mientras que los sistemas no integrables pueden volverse caóticos. Entre los métodos de diagnóstico están el análisis de Painlevé, la existencia de pares Lax y enfoques algebrico-geométricos.