Ecuaciones

Una ecuación es una afirmación matemática que establece la igualdad entre dos expresiones. En su forma más común, incluye una o varias incógnitas, representadas por variables, y constantes. Resolver una ecuación consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad.

Las ecuaciones se clasifican de diversas maneras. Las ecuaciones algebraicas incluyen polinomios y expresiones racionales; pueden ser lineales (grado uno), cuadráticas (grado dos) u de mayor grado. Las ecuaciones diferenciales involucran derivadas respecto a una o más variables; las ecuaciones en derivadas parciales abordan funciones dependientes de varias variables. También existen ecuaciones integrales, ecuaciones trascendentes (que contienen funciones exponenciales, logarítmicas o trigonométricas) y sistemas de ecuaciones, donde varias ecuaciones deben cumplirse simultáneamente.

Para resolverlas se emplean métodos según el tipo. En ecuaciones algebraicas simples se manipulan términos, se factoriza o se aplica la fórmula correspondiente; en sistemas lineales se utiliza sustitución, eliminación o métodos matriciales como la eliminación de Gauss. En ecuaciones diferenciales se buscan soluciones generales mediante técnicas como separación de variables o factores integrantes; en soluciones numéricas se recurren a métodos como Newton-Raphson o bisección cuando no hay soluciones analíticas.

Ejemplos: 2x + 5 = 11 tiene solución x = 3. Una ecuación diferencial simple, dy/dx = y, tiene la solución general y(x) = C e^x; con la condición inicial y(0) = 2, la solución es y(x) = 2 e^x.

Las ecuaciones son herramientas centrales en matemáticas, ciencias e ingeniería, utilizadas para modelar fenómenos, describir relaciones y predecir resultados. No todas las ecuaciones tienen solución o tienen un número finito de soluciones; algunas poseen infinitas soluciones dependiendo de condiciones como constantes o condiciones iniciales.

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