Identitätsmorphismen

Identitätsmorphismen sind in der Kategorientheorie die Morphismen, die jedem Objekt einer Kategorie eindeutig zugeordnet sind und als neutrale Elemente der Komposition wirken. Zu jedem Objekt A einer Kategorie C gehört demnach ein Identitätsmorphism id_A: A → A, der die Struktur der Kategorie nicht verändert.

Die Identitätseigenschaften besagen, dass für jeden Morphismus f: X → A gilt f ∘ id_X = f (linke Identität) und für jeden Morphismus g: A → Y gilt id_Y ∘ g = g (rechte Identität). Aus diesen Eigenschaften folgt, dass Identitätsmorphismen die Kompositionsstruktur einer Kategorie respektieren und das Neutralverhalten der Identität bei Verkettungen sicherstellen.

Für jedes Objekt existiert eindeutig genau ein Identitätsmorphismen. In einer gegebenen Kategorie dienen Identitätsmorphismen als unveränderliche Elemente bezüglich der Verkettung und bilden, zusammen mit anderen Morphismen, das Grundgerüst der morphischen Struktur.

Beispiele verdeutlichen das Konzept: In der Kategorie Set ist id_A die gewöhnliche Identitätsabbildung A → A. In der Kategorie Grp ist id_G der Identitätshomomorphismus einer Gruppe G, also die Abbildung g ↦ g. In Top ist id_X die Identität von Top_X, die jeden Punkt unverändert auf sich selbst abbildet und stetig bleibt.

In Funktoren erhalten Identitätsmorphismen eine weitere Bedeutung: Ein Funktor F erfüllt F(id_A) = id_{F(A)}, wobei die Identitäten der Ausgangskategorie auf die Identitäten der Zielkategorie abgebildet werden. Identitätsmorphismen sind damit zentrale Bausteine, die Konsistenz und Neutralität in der Struktur der Kategorien sichern.