Homotopieklassen

Homotopieklassen zijn een basisconcept uit de algebraïsche topologie. Laat X en Y topologische ruimten zijn en laat f en g: X → Y continue kaarten. Deze kaarten zijn Homotopisch als er een continue H: X × [0,1] → Y bestaat met H(x,0) = f(x) en H(x,1) = g(x) voor alle x ∈ X. De homotopieklasse van een kaart f is het verzameling [f] = { g: X → Y | g ≃ f }. De verzameling van alle homotopieklassen wordt genoteerd als [X, Y].

Er is ook een versie met een vast punt. Als X en Y puntgerichte ruimten zijn met basispunten x0 ∈ X en y0 ∈ Y en de kaarten f en g beide de basispuntpositie behouden, dan spreken we van gebaseerd homotopie en [X, Y]_* voor de verzameling van gebaseerd homotopieklassen. In dit geval is [S^n, Y]_* gelijk aan de n-de homotopiegroep π_n(Y); in het bijzonder is π_1(Y) ≅ [S^1, Y]_*.

Belangrijke eigenschappen: homotopie is een équivalente relatie, wat betekent dat [f] definieert wat er feitelijk over blijft wanneer kaarten door een deformatie kunnen worden omgevormd. Samengestelde kaarten f: X → Y en g: Y → Z leveren een wel-gedefinieerde kaart [X, Y] → [X, Z] via postcompositie, waardoor [X, −] en [−, Y] functors zijn in hun variabelen. Twee ruimten X en Y zijn homotopie-equivalent als er f: X → Y en g: Y → X bestaan met gf ≃ id_X en fg ≃ id_Y.

Toepassingen en betekenis: homotopieklassen dienen als compacte invarianten van kaartrelaties tussen ruimten en spelen een centrale rol in de studie van de homotie-typen, homotopiegroepen en obstructietheorie. Ze geven een manier om kaarten te classificeren naar deformaties en vormen de brug tussen ruimtelijke topologie en algebra.