Hoekenmomenten

Hoekenmomenten, in het kader van circular statistics, zijnMoments of angular data: metingen die anglesRather than linear values are analyzed on the circle [0, 2π). Ze worden gebruikt om de verdeling van hoeken te beschrijven en te vergelijken.

Definitie: voor een willekeurige hoek Θ met een kansverdeling op de cirkel wordt de n-de hoekenmoment vaak gedefinieerd als m_n = E[e^{i nΘ}] = E[cos(nΘ)] + i E[sin(nΘ)]. De reële en imaginaire delen geven respectievelijk de cosinus- en sinusmomenten C_n = E[cos(nΘ)] en S_n = E[sin(nΘ)]. De magnitude |m_n| geeft de concentratie van de hoekverdeling weer, en de argument van m_n geeft een voorkeursrichting aan.

Kleine voorbeelden en schattingen: uit gegevens Θ_1, …, Θ_N wordt voor elk n een schatting gemaakt: C_n ≈ (1/N) Σ cos(n Θ_j) en S_n ≈ (1/N) Σ sin(n Θ_j). Het eerste moment (n = 1) levert de gemiddelde richting θ̄ = atan2(S_1, C_1) en de uiteindelijke concentratie via de toestandslengte R = sqrt(C_1^2 + S_1^2). Circular variance en concentratie kunnen uit deze momenten afgeleid worden.

Toepassingen en interpretatie: hoekenmomenten helpen bij het samenvatten van verdelingen van hoeken, vooral bij detecteren van de richting, symmetrie en multimodaliteit. Ze worden toegepast in onder meer meteorologie (wind- en stromingsrichtingen), biologie (gedragingen van dieren), geologie ( oriëntatie van gesteenten) en astronomie (fases en hoeken). Hogere momenten geven informatie over asymmetrie en scherpte van de verdeling, maar moeten met zorg worden geïnterpreteerd vanwege de cirkelachtige aard van hoeken. See also: circular statistics, Fourier analysis on the circle.