Groepsacties

Een groepsactie is een manier waarop een groep G zich als symmetrieën van een verzameling X gedraagt, door X te laten permuteren. Formeel bestaat een groepsactie uit een kaartactie G × X → X die voldoet aan twee axioma's: e · x = x en (gh) · x = g · (h · x) voor alle g, h in G en x in X. Zo wordt X een G-set en levert de actie een homomorfie G → Sym(X) op, g ↦ (x ↦ g · x).

Type en voorbeelden: er zijn linkeracties en rechteracties. Een klassiek voorbeeld is de linkeractie van G op de verzameling {1,...,n} via permutaties: elk g zet de elementen op hun plaats. Een ander veelgebruikt voorbeeld is de actie van G op zichzelf, gegeven door g · h = gh (linkeractie). Ook gaat G in op de verzameling van cosets G/H via left-multiplication.

Belangrijke concepten zijn orbit en stabilisator. Voor x ∈ X is de orbit G · x = {g · x | g ∈ G} en G_x = {g ∈ G | g · x = x}. Het orbit-stabilizer theorem luidt: |G · x| = [G : G_x].

Eigenschappen: de actie is faithful als de enige g met g · x = x voor alle x de identiteits is; de kernel van de actie bestaat uit alle g met g · x = x voor alle x. Een vrije actie (of regelmatige) heeft geen niet-identieke element dat een enkel punt vasthoudt.

Toepassingen: groepsacties worden gebruikt om symmetrieën te analyseren, representaties van groepen te geven als permutaties, en in de combinatoriek bij het tellen van objecten onder symmetrieën (Burnside's lemma, orbits). Ze vormen een fundamenteel hulpmiddel in abstracte algebra en geometrie.