homomorfie

Een homomorfie is een kaart tussen algebraïsche structuren die de operationele structuur behoudt. Voor twee groepen G en H met de groepsoperatie geldt een kaart f: G → H als een homomorfie wanneer f(xy) = f(x) f(y) voor alle x, y in G. Vergelijkbare definities bestaan voor ringen, vectorruimten en andere algebraïsche systemen: de relevante bewerkingen blijven onder f behouden.

Een gevolg is dat identiteits- en inversie-elementen worden bewaard: f(e_G) = e_H en f(x^{-1}) = f(x)^{-1} (in de groep-context). Voor ringen geldt bovendien f(a + b) = f(a) + f(b) en f(ab) = f(a) f(b). Voor vectorruimten is een homomorfie een lineaire afbeelding: f(a v + b w) = a f(v) + b f(w).

Kern en afbeelding: De kern van f is {g ∈ G | f(g) = e_H}. De afbeelding im f = {f(g) | g ∈ G} is een substructuur van H. De Eerste Isomorfismestelling zegt dat G / ker f ≅ im f, wat de relatie tussen G, H en de werking van f vastlegt.

Voorbeelden: De mod-n projectie f: Z → Z/nZ, f(k) = k mod n, is een ringhomomorfie. De determinant det: GL(n, F) → F^× is een groephomomorfie. Een lineaire afbeelding tussen vectorruimten is een homomorfie van additieve groepen en voldoet aan f(a v + b w) = a f(v) + b f(w).

Homomorfieën vormen een fundamenteel concept in algebra en dienen als morfismen tussen objecten in de bijbehorende structuren.