Grenscondities

Grenscondities zijn voorwaarden die gelden op de grens van een domein of bij oneindige afstand en die samen met een differentiaalvergelijking de oplossing van een probleem bepalen. Ze geven aan welke waarden of welke afgeleiden van de onbekende functie op de grens aanvaard worden of welke asymptotische toestand in het oneindige geldt.

De belangrijkste typen zijn Dirichlet- (essentieel) grensconditie: de waarde van de onbekende op de grens is vastgegeven (bijv. u = f op ∂Ω); Neumann- (natuurlijke) grensconditie: de waarde van de afgeleide langs de grens, normaal gericht, is vast (bijv. ∂u/∂n = g op ∂Ω); Robin-conditie: een lineaire combinatie van u en ∂u/∂n is vast (α u + β ∂u/∂n = h). Periodieke grenscondities komen voor bij herhaalde patronen of wanneer het domein een torus-achtige topologie heeft.

Voorbeeld: bij Laplace-vergelijking ∆u = 0 in Ω kan men op ∂Ω een Dirichlet-conditie geven, of een Neumann-conditie, of een combinatie (Robin). Bij oneindige domeinen gelden grenscondities bij ∞, bijvoorbeeld u(x) → 0 of ∂u/∂n → 0 bij |x| → ∞.

In de praktijk bepalen grenscondities de existentie en uniciteit van oplossingen en beïnvloeden ze waarnemingen in natuurkundige modellen. In numerieke methoden worden ze opgelegd tijdens discretisatie, waarbij onderscheid gemaakt wordt tussen essentiële en natuurlijke grenzen. Grenscondities zijn fundamenteel voor veel toepassingen in elektrostatica, warmtegeleiding, vloeistofdynamica en quantummechanica.