Gegenmodelle

Gegenmodelle bezeichnet man in der Logik, der formalen Semantik und verwandten Gebieten als Modelle, die einer bestimmten Behauptung widersprechen. Formal gesprochen ist ein Gegenmodell eine Struktur M mit einer Interpretation von Symbolen, in der alle Prämissen einer Theorie Γ erfüllt sind, die behauptete Schlussfolgerung φ jedoch nicht gilt. Damit gilt nicht Γ ⊨ φ. Gegenmodelle dienen vor allem dazu, Ungültigkeit oder Unvollständigkeit einer Aussage aufzudecken: Existiert ein Gegenmodell, so ist die universelle oder allgemeine Behauptung nicht wahr in allen Modellen.

In der Praxis werden Gegenmodelle verwendet, um Beweise zu widerlegen, Theorien zu testen oder Grenzen von Aussagen zu erkennen. Beispiele aus der Mathematik und der Logik verdeutlichen das Prinzip: Eine scheinbar universale Behauptung wie „Alle Schwäne sind weiß“ wird durch das Gegenmodell eines schwarzen Schwans widerlegt; in formaler Sprache wäre ein Modell, in dem Swan(a) und ¬White(a) gilt, während weitere Voraussetzungen erfüllt sind, ein Gegenmodell zu der Aussage ∀x Swan(x) → White(x). Ebenso ist eine Implikation P → Q kein logischer Geltungsbeweis, wenn es in einem Modell ein Beispiel gibt, in dem P wahr ist, aber Q falsch (P ∧ ¬Q).

In der Wissenschaft und Informatik finden sich Gegenmodelle häufig als Gegenbeispiele oder fehlerhafte Ausführungspfade, die eine Spezifikation verletzen. In der Modeltheorie dienen sie dazu, die Abgrenzungen von Theorien zu zeigen oder deren Konsistenz und Vollständigkeit zu prüfen. Gegenmodelle stehen damit im Gegensatz zu Beweisen, die eine Behauptung in allen Modellen unterstützen.