Funktorkategorien

Funktorkategorien, auch als Funktor-Kategorien bezeichnet, sind Kategorien, deren Objekte Funktoren zwischen fest bestimmten Kategorien C und D sind und deren Morphismen natürliche Transformationen zwischen solchen Funktoren. Für zwei Kategorien C und D bildet die Funktorkategorie Fun(C, D) (häufig auch D^C genannt) die Objekte: alle Funktoren F: C → D; die Morphismen: alle natürlichen Transformationen η: F ⇒ G zwischen zwei Funktoren F und G. Die Komposition von Morphismen erfolgt komponentenweise, und das Identitätsmorphismus besteht aus den Identitätsnaturtransformationen für jeden Funktor.

Eigenschaften: Wenn C klein ist und D eine lokal kleine Kategorie ist, dann ist Fun(C, D) lokal klein; d. h. Hom(F, G) ist eine Menge. Wenn D complete bzw. cocomplete ist, dann ist Fun(C, D) ebenfalls complete bzw. cocomplete, und Grenzwerte bzw. Kolimaten werden punktweise berechnet. Falls D kartesisch abgeschlossen ist und C klein, dann ist Fun(C, D) ebenfalls kartesisch abgeschlossen, wobei der Exponent F ⇒ G als Funktor c ↦ G(c)^{F(c)} definiert wird.

Beispiele: Set^C ist die Kategorie der Funktoren C → Set; Diagramme der Gestalt C in D bilden Objekte, und natürliche Transformationen zwischen Funktoren dienen als Morphismen. Eine weitere wichtige Struktur ergibt sich durch Funktor-Kategorien im Kontext von Diagrammenformen in D.

Bezug zu anderen Konzepten: Funktorkategorien befinden sich im Zentrum der Diagrams- und Diagrammkategorie-Theorie und ermöglichen die Betrachtung von ganzen Diagrammen in einer einzigen Kategorie. Nicht zu verwechseln ist Fun(C, D) mit dem Gesamtbereich Cat, der die Kategorie aller kleinen Kategorien und Funktoren zwischen ihnen umfasst; Fun(C, D) bezieht sich auf festgelegte C und D.