Funktionsoberflächen

Funktionsoberflächen bezeichnen in der Geometrie Flächen im dreidimensionalen Raum, die als Graphen von reellwertigen Funktionen definiert sind. Sei D ⊂ R^2 ein Definitionsbereich der Funktion f: D → R. Dann ist die zugehörige Oberfläche S = { (x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ D }. Ist f differenzierbar, bildet sich damit eine glatte Oberfläche.

Darstellung: In expliziter Form wird S als z = f(x, y) beschrieben. In impliziter Form lässt sie sich durch F(x, y, z) = z − f(x, y) = 0 darstellen, und durch eine parametrisierte Abbildung r(u, v) = (u, v, f(u, v)) mit (u, v) ∈ D.

Geometrische Eigenschaften: Der Normalenvektor an einem Punkt ist n = (−f_x(x0, y0), −f_y(x0, y0), 1). Die Tangentialebene hat Gleichung z ≈ f(x0, y0) + f_x(x0, y0)(x − x0) + f_y(x0, y0)(y − y0). Die Krümmung wird durch zweite partielle Ableitungen beschrieben (Mean- und Gaussiankrümmung). Cross-sections durch horizontale Ebenen z = c ergeben Konturlinien im Definitionsbereich, während vertikale Schnitte Parabeln oder andere Kurven liefern.

Beispiele: z = x^2 + y^2 (Paraboloid), z = sin x · cos y, z = e^{−(x^2 + y^2)} (Glockenform).

Anwendungen: Funktionsoberflächen spielen eine zentrale Rolle in der Integralrechnung (Flächen- und Oberflächenintegrale), Physik (Potenzialflächen), Computergrafik, Geoinformatik und Terrainmodellierung.

Hinweise: Die Geometrie hängt von der Regularität von f ab; bei Stellen, wo der Gradient verschwindet, können besondere Punkte auftreten; der Definitionsbereich D bestimmt Randkonstrukte der Oberfläche.