Funktionserhöhung

Funktionserhöhung ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet die Eigenschaft einer Funktion, deren Ausgabewerte mit zunehmendem Eingabewert steigen. In der modernen Terminologie spricht man eher von Monotonie einer Funktion, speziell von einer monotonen, steigenden Funktion. Man unterscheidet dabei zwischen streng zunehmenden Funktionen, bei denen f(x1) < f(x2) gilt, wenn x1 < x2, und nicht fallend bzw. monoton nicht fallend, bei denen f(x1) ≤ f(x2) für x1 < x2 gilt.

Beispiele verdeutlichen die Unterschiede: Die Funktion f(x) = x^3 ist auf ganz ℝ streng monoton steigend. Die Funktion f(x) = x^2 ist nicht auf ganz ℝ monoton steigend, aber auf dem Intervall [0, ∞) streng monoton steigend. Die Exponentialfunktion f(x) = e^x ist auf ganz ℝ streng monoton steigend. Graphisch bedeutet Monotonie, dass der Funktionsgraph nie wieder abfällt, wenn man von links nach rechts geht.

Charakterisierung und Kriterien: Wenn die Ableitung einer Funktion existiert und f'(x) > 0 für alle x in einem Intervall I, ist f dort streng increasing. Reicht f'(x) ≥ 0 aus, ist f dort nicht fallend bzw. monoton nicht fallend. Umgekehrt können auch Nicht-Existenz der Ableitung oder andere Formen der Vergleichbarkeit genutzt werden, um Monotonie festzustellen.

Zusammenhang und Nutzung: Der Begriff Funktionserhöhung findet in der heutigen Fachsprache seltener Verwendung; üblicher ist der Ausdruck monotone zunehmende Funktion. Monotone Funktionen bewahren Ordnungen und haben wichtige Eigenschaften in Analysis, Integration und Optimierung.

Siehe auch: Monotonie, Monotone Funktion, Monotone zunehmende Funktion, Monotone abnehmende Funktion.