Frequenzantworten

Frequenzantworten beschreiben, wie ein lineares zeitinvariantes System verschiedene Frequenzanteile eines Eingangssignals durch dessen Ausgang beeinflusst. In der kontinuierlichen Zeit wird die Frequenzantwort H(ω) durch die Fourier-Transformation der Impulsantwort h(t) definiert: H(ω) = ∫_{-∞}^{∞} h(t) e^{-jωt} dt. Im diskreten Zeitbereich verwendet man H(e^{jΩ}) = ∑_{n=-∞}^{∞} h[n] e^{-jΩn}. Die Frequenzantwort ist eine komplexe Funktion; ihr Betrag |H(ω)| nennt man die Betragssantwort, ihr Argument ∠H(ω) die Phasenantwort. Für stabile, kausale Systeme existieren sinnvolle Interpretationen der Werte.

Die Frequenzantwort beschreibt, wie verschiedene Frequenzen gedämpft oder verstärkt sowie phasenverschoben werden. Eine Darstellung der Betragsschnitte ergibt die Magnitude- bzw. Bode-Plot, während die Phasenverläufe oft zusammen mit dem Betrag dargestellt werden. Typische Anwendungen umfassen Filterdesigns wie Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass- oder Notch-Filter. Ein reiner Allpass verändert lediglich die Phase, ohne den Betrag zu beeinflussen. Nichtlineare oder zeitvariante Systeme besitzen keine einfache Frequenzantwort oder benötigen andere Beschreibungen.

Die Frequenzantwort kann durch Messung oder Berechnung bestimmt werden. Bei gemessenen Systemen erhält man aus bekannten Eingangs- und Ausgangssignalen die Impulsantwort und deren Fourier-Transformation. Praktisch spielen Stabilität (BIBO-Stabilität) und Kausalität eine Rolle, da sie beeinflussen, ob eine sinnvolle Frequenzantwort existiert. Bei digitalen Systemen ist der Frequenzraum zyklisch mit 2π periodic; die Abtastrate bestimmt die relevanten Frequenzen. Frequenzantworten bilden eine zentrale Grundlage der Signale- und Systemanalyse sowie der digitalen Filterentwicklung.