FourierTheorie

Die FourierTheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik und der Signalanalyse, das Funktionen oder Signale als Superposition von Harmonischen beschreibt. Sie nutzt Fourierreihen für periodische Größen und Fouriertransformationen für nicht periodische Größen, um deren Frequenzinhalt zu ermitteln.

Historisch geht der Ursprung auf den französischen Mathematiker Jean-Baptiste Joseph Fourier zurück, der in der Theorie der Wärmeleitung eine Methode zur Darstellung periodischer Funktionen mit trigonometrischen Funktionen einführte. Ihre formalen Grundlagen wurden im 19. und 20. Jahrhundert systematisiert.

In der FourierTheorie dienen Fourierreihen der Beschreibung periodischer Funktionen f(t) mit der Form f(t) = a0/2 + summe von n=1 bis unendlich [a_n cos(nω0 t) + b_n sin(nω0 t)]. Die Koeffizienten bestimmen die Beiträge einzelner Frequenzen; im komplexen Formsatz verwendet man e^{i n ω0 t}. Die Reihen konvergieren unter bestimmten glattenen oder Frequenzbedingungen.

Die Fouriertransformation erweitert dieses Konzept auf nicht periodische Signale. Die transformierte Funktion F(ω) = ∫ f(t) e^{-i ω t} dt enthält die Frequenzdarstellung; der Urbildsatz lautet f(t) = (1/2π) ∫ F(ω) e^{i ω t} dω. Plancherel und Parseval beschreiben die Energieerhaltung zwischen Zeit- und Frequenzbereich.

In der Praxis erscheinen auch das diskrete Fouriertransformation (DFT) und der Algorithmus der schnellen Fouriertransformation (FFT), die digitale Signale effizient analysieren. Anwendungen finden sich in der Signalverarbeitung, Akustik, Optik, Bildverarbeitung, Quantenmechanik und der Lösung von Differentialgleichungen.