Urbildsatz

Urbildsatz (preimage theorem) ist ein Begriff aus der Mengen- und Topologie. Er beschreibt, wie das Urbild einer Teilmenge unter einer Abbildung mit Mengenoperationen zusammenhängt. Sei f: X → Y eine Funktion und A ⊆ Y eine Teilmenge. Das Urbild  = f^{-1}(A) ist die Menge aller x ∈ X mit f(x) ∈ A.

Zu den zentralen Eigenschaften des Urbildoperators gehört, dass er Mengenoperationen erhält. Für eine Familie von Teilmengen A_i ⊆ Y gilt:

- f^{-1}(⋃_i A_i) = ⋃_i f^{-1}(A_i)

- f^{-1}(⋂_i A_i) = ⋂_i f^{-1}(A_i)

- f^{-1}(Y \ A) = X \ f^{-1}(A)

Damit ist f^{-1} eine Homomorphie der Booleschen Algebra der Teilmengen von Y in diejenige von X (Erhaltung von Vereinigung, Schnitt und Komplement).

Verwendung in der Topologie: Die Definition von Stetigkeit lässt sich über Urbilder fester Mengen fassen. Eine Funktion f ist genau dann stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge in Y offen in X ist. Äquivalent gilt, dass das Urbild abgeschlossener Mengen offen/abgeschlossen bleibt entsprechend der Topologie auf X und Y.

Beispiel: Sei f: R → R definiert durch f(x) = x^2. Für A = (-1,1) gilt f^{-1}(A) = (-1,1). Für A = {0} ist f^{-1}(A) = {0}.

Der Urbildsatz macht deutlich, dass der Urbildoperator unabhängig vom konkreten Element, sondern nur von der Struktur der Ziel- und Quellmenge abhängt und zentrale Rolle bei Definitionsprinzipien von Stetigkeit, Abbildungen und Mengenoperationen spielt.