Foliationen

Foliationen sind eine Zerlegung einer glatten Mannigfaltigkeit M in zusammenhängende, immersierte Untermannigfaltigkeiten, die Blätter genannt werden. Die Blätter haben alle dieselbe Dimension p, und in jedem Punkt gilt, dass es eine Umgebung gibt, in der M wie das Produkt R^p × R^q aussieht, wobei die Blätter die Teilmengen R^p × {const} darstellen. So entsteht eine lokale Produktstruktur, die das globale Gewebe der Mannigfaltigkeit festlegt.

Eine äquivalente Beschreibung verwendet das Tangentenbündel TM. Eine Foliation des Rang p ergibt eine Subbundel D von TM mit D an jedem Punkt gleich dem Tangentialraum der Blätter. Die Bedingung der Integrabilität besagt, dass D abgeschlossen ist unter der Lie-Bracket, also [X, Y] zu D gehört, wenn X, Y zu D gehören. Gilt diese Involutivität, dann existieren diskret zusammenhängende Integralmannigfaltigkeiten von D; das sind genau die Blätter der Foliation. Umgekehrt erzeugt eine regelmäßige Foliation aus einer solchen integrablen Subbundle D die gleiche Blätterstruktur. Dieser Zusammenhang wird durch den Satz von Frobenius präzisiert.

Blätter, lokale Struktur und Beispiele. Jedes Blatt ist eine immersierte Untermannigfaltigkeit von M und bildet mit den anderen Blättern eine Partition von M. In einer geeigneten Umgebung um einen Punkt lässt sich M als Produkt U ≃ R^p × R^q darstellen, sodass die Blätter durch R^p-Verschiebungen in der ersten Komponente beschrieben werden. Typische Beispiele sind die Kronekrone-Krone-Folierung des Torus T^2 durch Linien constanten Neigungswinkels oder der Hopf-Fibrationsspezialfall S^3 → S^2, bei dem S^3 in Blätter von Kreisen zerfällt.

Variationen und Anwendungen. Reguläre Foliationen setzen eine konstante Blattdimension voraus; singuläre Foliationen erlauben Varationen der Dimensionalität der Blätter. Wichtige Konzepte sind Holonomie, lokale Produktstrukturen und Stabilitätssätze (z. B. Reeb-Stabilität). Anwendungen finden sich in Geometrie, Dynamik und der Studien von Gewebetetchniken auf Mannigfaltigkeiten.