ReebStabilität

Reeb-Stabilität bezieht sich auf ein Stabilitätsergebnis in der Foliationstheorie differentiabler Mannigfaltigkeiten. Es beschäftigt sich mit dem lokalen Verhalten einer Foliation in der Nähe eines kompakten Blattes (Blatt der Foliation) unter der Annahme, dass dieses Blatt eine endliche Holonomie besitzt. Holonomie beschreibt die Monodromie der transversalen Struktur; intuitiv misst sie, wie stark sich transversale Strukturen um das Blatt drehen, wenn man einem geschlossenen Weg im Blatt folgt.

Der Reeb-Stabilitätssatz lautet in gist: Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, F eine Foliation von Codimension q. Sei L ein kompaktes Blatt von F mit endlicher Holonomie Hol(F,L). Dann existiert eine saturierte Umgebung U von L in M sowie eine foliierte Diffeomorphie φ: U → L × D^q, so dass die Foliation auf U durch die Produktfoliation {L × {y} | y ∈ D^q} gegeben ist. In dieser Darstellung sind alle Blätter in U diffeomorph zu L; insbesondere bilden sie eine lokale Faserbündelstruktur über L.

Folglich garantiert endliche Holonomie eine lokale Produktstruktur rund um das Blatt und damit Stabilität der Blätter in einer Nachbarschaft. Ist die Holonomie trivial, entspricht die Nachbarschaft sogar einem globalen Produkt. Bei unendlicher Holonomie kann die Stabilitätsaussage jedoch fehlschlagen; nahe Blätter müssen dann nicht mehr alle gleichartig sein.

Historisch gehört der Satz zu den Grundlagen der Foliationstheorie; er wurde von Georges Reeb eingeführt und dient als zentrale Voraussetzung für weitere Stabilitätsergebnisse und das Verständnis der lokalen Struktur kompakter Blätter.