Flächenormalen

Flächenormalen sind Vektoren, die senkrecht zur Tangentialebene einer Fläche in einem Punkt stehen. Sie geben die Orientierung der Fläche an und sind insbesondere nützlich für Berechnungen mit Oberflächen, wie Licht- oder Flussberechnungen. In der Form F(x,y,z)=0 einer Fläche ist der Normalenvektor an der Stelle p der Gradient ∇F(p). Für eine parametrische Fläche r(u,v) ergibt sich der Normalenvektor als das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen: n = r_u × r_v; die Richtung kann durch Normalisierung zu einer Einheitsnormalen n̂ = (r_u × r_v)/||r_u × r_v|| festgelegt werden. Die Orientierung der Normalen ist konventionsabhängig, man spricht oft von äußeren oder oberen Normalen.

Zur Berechnung unterscheiden sich glatte/flächige Flächen unterscheiden implicit, parametrisch oder diskret. Bei einem impliziten Flächenmodell liefert der Gradient ∇F die Normale. Bei einer parametrischen Fläche nutzt man das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren als Normalenvektor. In diskreten Oberflächenverfahren (z. B. Dreiecksmesh) ergibt sich die Flächenormalen aus dem Kreuzprodukt der Kanten des Dreiecks; Vertex-Normalen werden oft durch Mittelung der angrenzenden Flächenormalen gewonnen, ggf. gewichtet nach Flächeninhalt oder Winkeln, um Glättung zu erreichen.

Anwendungen finden sich in der Geometrie und Physik: shading in der Computergrafik (Lambert-, Phong-Beleuchtung), Berechnung von Oberflächenkrümmung über den Gauss-Map, Flux- und Oberflächenintegrale in der Physik sowie in der CAD-/Mesh-Verarbeitung. Wichtige Randprobleme sind Definitionslücken bei Berührungspunkten, falsche Orientierung an benachbarten Flächen und Uneinheitlichkeit von Normalenrichtungen in ungeordneter Geometrie.