Oberflächenkrümmung

Oberflächenkrümmung beschreibt, wie eine Fläche im dreidimensionalen Raum gekrümmt ist. Die Hauptkrüfungen k1 und k2 geben die Krümmung in den principal directions an. Aus ihnen ergeben sich die Gaussian-Krümmung K = k1 · k2 und die mittlere Krümmung H = (k1 + k2)/2. Der Vorzeichen von K kennzeichnet die Art der Krümmung: elliptisch (K > 0), hyperbolisch (K < 0) oder flach/parabolisch (K = 0). Beispiele: Eine Ebene hat K = 0; eine Kugel hat K > 0 konstant; ein Zylinder hat K = 0, da nur in einer Richtung gekrümmt wird.

Krümmung kann intrinsisch oder extrinsisch sein. Die intrinsische Krümmung hängt nur von der ersten Fundamentalform ab und bleibt beim Biegen der Fläche unverändert. Gauss’ Theorema egregium besagt, dass K intrinsisch ist. Die Krümmung in einer gegebenen Richtung, die Normal- bzw. Richtungs-Krümmung, ergibt sich aus dem Shape- bzw. Weingarten-Operator; dessen Eigenwerte sind die Hauptkrüfungen k1 und k2.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Physik, Computergrafik und Technik. Minimalflächen besitzen H = 0; Kugeln besitzen konstant positiven H. Zur Berechnung verwendet man typischerweise eine parametrische Repräsentation r(u,v) und die ersten sowie zweiten Fundamentalformen, um K und H zu bestimmen; auf diskreten Oberflächen werden Näherungen aus lokalen Nachbarschaften geschätzt.