Flächenentwicklungen

Flächenentwicklungen, auch Flächenentfaltung oder Netze genannt, bezeichnen in der Geometrie die Abbildung einer Oberfläche in die Ebene durch das Abtrennen entlang von Kanten und anschließendes Ausklappen. Bei polyedrischen Körpern bedeutet dies, die Oberflächenflächen als zusammenhängende Ebenen so zu legen, dass sie in der Ebene vollständig dargestellt werden, ohne Verzerrungen der Formen. Ziel ist es, die Oberfläche flach zugänglich zu machen, etwa zum Ausschneiden aus Papier oder zum Herstellen von Verbindungsmustern.

Bei Polyhedren ist eine Flächenentwicklung ein Netz, das aus den einzelnen Flächen besteht, die an benachbarten Flächen entlang gemeinsamer Kanten verbunden bleiben. Die Kantenlängen bleiben erhalten, und in der Ebene darf es je nach Netz zu Überlappungen kommen oder auch nicht. Es existieren oft zahlreiche Netze für ein gegebene Polyeder; für konvexe Körper ist bekannt, dass mindestens ein nicht überlappendes Netz existiert. Die Anzahl der Netze variiert stark und steigt mit der Komplexität des Körpers.

Beispiele: Der Würfel besitzt elf verschiedene Netze (unabhängig von Rotationen oder Spiegelungen); der Tetraeder lässt sich durch verschiedene Anordnungen von vier gleichseitigen Dreiecken als Netz darstellen. Netze dienen in der Praxis dem Ausschneiden und Zusammenfügen von Oberflächen, etwa bei der Herstellung von Verpackungen, beim Schneiden von Metallblechen oder in der Papier- und Origami-Kunst.

Anwendung und Bedeutung: In Bildung, Technik und Design werden Flächenentwicklungen genutzt, um Oberflächenpläne zu erstellen oder Oberflächenmaterialien effizient auszunutzen. In der Computergrafik steht ihnen konzeptionell die UV-Abbildung nahe, bei der eine Oberflächentextur auf eine Ebene projiziert wird.

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