Flachflächen

Flachflächen sind geometrische Flächen, die zweidimensional erscheinen und keine nennenswerte Krümmung aufweisen. Formal bedeutet dies, dass die Gaußsche Krümmung K der Fläche an allen Punkten gleich Null ist. In der Praxis umfasst der Begriff Ebenen sowie andere Flächen, die sich flach entwickeln lassen und sich in eine Ebene entfalten lassen, ohne Verzerrung zu erfahren.

Die Gaußsche Krümmung K dient als zentrale Größe, um Flächen zu klassifizieren. Flächen mit K = 0 gelten als flach im differentialgeometrischen Sinn. Dazu gehören Ebenen, Zylinder und Kegel (bis auf den Scheitelpunkt); alle diese Flächen besitzen in der Regel null Krümmung und können daher auf die Ebene entwickelt werden. Kugelflächen weisen K > 0 auf, Satteloberflächen K < 0.

Darstellung: Eine Flachfläche lässt sich oft parametrisieren. Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann etwa durch r(u,v) = p + u v1 + v v2 beschrieben werden, wobei p ein Punkt und v1, v2 zwei linear unabhängige Richtungsvektoren sind. Allgemein wird eine Ebene durch die Gleichung n·x = d beschrieben, wobei n der Normalenvektor ist und d eine Konstante.

Entwickelbare Flächen: Der Begriff flach bedeutet auch entwickelbar, d.h., sie lassen sich durch Abrollen oder Ausrollen auf einer Ebene erhalten, ohne Dehnung. Neben der Ebene gehören dazu Zylinder- und Kegeloberflächen (ohne den Scheitelpunkt).

Anwendungen: Flachflächen spielen in der Geometrie, Computergrafik, CAD, Architektur, Vermessung und der Fertigung eine Rolle. Sie dienen als Referenzformen, um komplexere Oberflächen zu approximieren oder Flächenintegrale zu vereinfachen.