Flächenfluxrechnung

Flächenfluxrechnung bezeichnet in der Mathematik und Physik die Bestimmung des Flusses eines Vektorfeldes durch eine Fläche. Typischerweise wird ein Vektorfeld F: R^3 -> R^3 betrachtet, und durch eine orientierte Fläche S mit der Normalrichtung n der Fluss definiert als Φ_S = ∬_S F · n dS. Wird S durch eine Parametrisierung r(u,v) mit D als Definitionsmenge beschrieben, lässt sich Φ_S auch schreiben als ∬_D F(r(u,v)) · (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv.

Die Orientierung der Fläche bestimmt das Vorzeichen des Flusses; eine Umkehrung der Orientierung ändert das Vorzeichen.

Für geschlossene Flächen gilt Gauß' Abtropfungs- bzw. Divergenzsatz: Φ_S = ∬_S F · n dS = ∭_V div F dV, wobei V das von S eingeschlossene Volumen ist. Das Stokes-Theorem verbindet Flüsse von Feldern mit Zirkulation: ∬_S (curl F) · n dS = ∮_∂S F · dr.

Analytische Flächen können direkt parametrisiert oder als Graphen beschrieben werden; dS lässt sich über das Kreuzprodukt der Partialschnitte verwenden: F(r(u,v)) · (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv. Numerische Flächenfluxrechnung nutzt Flächentransformationen, Dreiecksnetze oder Finite-Elemente-Methoden sowie Gauss-Quads auf Flächenelementen.

Anwendungsgebiete finden sich u. a. in der Elektrodynamik (Fluss von E oder B durch Oberflächen), Strömungsmechanik (Massen- oder Energiestrom durch Oberflächen), Meteorologie sowie Computergraphik, wo Fluxintegrale zu Berechnungen von Licht-, Wärme- oder Stofffluss verwendet werden.

Beispiel: Für das Feld F(x,y,z)=(x,y,z) durch die Kugelfläche der Radius R ergibt sich Φ_S = ∬_S F · n dS = ∭_V div F dV = 3 · (4/3)πR^3 = 4πR^3.