Flächentransformationen

Flächentransformation bezeichnet in der Mathematik eine Abbildung, die Teilmengen der Ebene in Teilmengen derselben Ebene überführt. Dabei interessiert oft, wie sich Flächeninhalte unter der Abbildung verändern. Für differentiable Abbildungen F von der Ebene in sich gilt die Idee der Flächenverformung durch den Jacobian: das infinitesimale Flächenmaß im Bild ist das Produkt aus dem Absolutwert des Jacobian-Determinanten und dem ursprünglichen Maß, also dA' = |det DF(x)| dA. Auf gesamte Gebiete übertragen bedeutet dies, dass der Flächeninhalt durch die Abbildung entsprechend dem Verlauf des Jacobian skaliert wird.

Im linearen Fall lässt sich eine Abbildung durch eine 2x2-Matrix A darstellen. Dann wird der Flächeninhalt eines beliebigen Gebiets mit dem Faktor |det A| multipliziert. Beispiele: Eine reine Rotation hat determinant 1 und erhält die Fläche; eine Skalierung mit Faktor k erhöht den Flächeninhalt um den Faktor k^2; eine einfache Scherung hat ebenfalls determinant 1 und verändert die Fläche nicht.

Anwendungen von Flächentransformationen finden sich in der Geometrie, der Computergraphik, der Geoinformatik und dem Finite-Elemente-Verfahren. Sie stehen im Zusammenhang mit dem Change-of-Variables-Satz in der Analysis, der beschreibt, wie Integrale bei einer Koordinatentransformation angepasst werden.

Siehe auch: Jacobian, Change of variables, Abbildung, Flächeninhalt.