Flächenelementen

Flächenelemente bezeichnen das infinitesimale Flächenmaß einer Fläche im dreidimensionalen Raum. Sie ermöglichen die Berechnung von Flächeninhalten und von Oberflächenintegralen.

Für eine Fläche S ⊂ R^3 mit einer Parametrisierung r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) und einem Parametergebiet D gilt das Flächenelement dS = |∂r/∂u × ∂r/∂v| du dv. Damit ergibt sich die Fläche als Integral über das Parametergebiet A = ∬_D |∂r/∂u × ∂r/∂v| du dv. Für Flächen, die als Graphen z = f(x,y) gegeben sind, erhält man dS = sqrt(1 + f_x^2 + f_y^2) dx dy. Die orientierte Flächeneinheit besitzt das Vektormaß dS_vec = (∂r/∂u × ∂r/∂v) du dv; in der Graphdarstellung r(x,y) = (x, y, f(x,y)) ist dS_vec = (-f_x, -f_y, 1) dx dy.

Ein bekanntes Beispiel ist die Kugel mit Radius R. In der Parameterisierung r(θ,φ) = (R sinφ cosθ, R sinφ sinθ, R cosφ) ergibt sich dS = R^2 sinφ dφ dθ, und die Gesamtfläche beträgt 4πR^2.

Anwendungen umfassen die Flächeninhaltsberechnung A = ∬_S dS und die Oberflächenintegration ∬_S F · n dS für Vektorfelder F, wobei n der Einheitsnormalenvektor ist und dS das Flächenelement darstellt. Das Konzept lässt sich auf höhere Dimensionen und andere Flächenformen übertragen.