Fixpunkten

Fixpunkte, im Singular der Fixpunkt, bezeichnet man in der Mathematik Punkte x in einer Menge X, für die eine Abbildung f: X → X gilt, dass f(x) = x. Fixpunkte erscheinen in dynamischen Systemen, bei der Lösung gleichungsbasierter Probleme und in Selbstkonsistenzfragen. Oft spricht man von Gleichgewichtspunkten der Iteration, wenn man wiederholt f anwendet.

Existenz und Eindeutigkeit: Der Banach-Fixpunktsatz gilt in einem vollständigen metrischen Raum für eine Kontraktion f, d. h. eine Stetigkeit mit Lipschitz-Konstante k < 1. Dann besitzt f genau einen Fixpunkt, und jeder Startwert konvergiert gegen ihn. Der Brouwer-Fixpunk-Satz sagt: Jede stetige Abbildung einer kompakten, konvexen Teilmenge von R^n hat mindestens einen Fixpunkt; Eindeutigkeit ist nicht garantiert. Erweiterungen wie der Schauder-Fixpunk-Satz betreffen abstraktere Räume.

Stabilität: Für glatte Abbildungen in der Umgebung eines Fixpunkts x* gilt in der eindimensionalen Analyse, dass der Stabilitätsstatus durch die Ableitung f'(x*) bestimmt wird: Wenn |f'(x*)| < 1, ist der Punkt attraktiv; wenn |f'(x*)| > 1, repulsiv; und wenn |f'(x*)| = 1, neutral.

Berechnung: Fixpunkt-Iteration, definiert durch x_{n+1} = f(x_n), konvergiert unter Kontraktionsbedingungen. Alternativ lassen sich Newton- oder andere linearisierende Verfahren verwenden, um die Gleichung f(x) = x zu lösen, etwa durch Umformen zu g(x) = f(x) - x.

Beispiele: Die Gleichung cos x = x besitzt einen Realfixpunkt nahe 0,739085…. Fixpunkte von f(x) = x^2 sind 0 und 1. Die logistische Abbildung x_{n+1} = r x_n(1 - x_n) hat Fixpunkte x* = 0 und x* = 1 - 1/r, deren Stabilität mit r variiert.

Anwendungen: Fixpunkte spielen eine zentrale Rolle in Gleichgewichtsanalyse, Selbstkonsistenzproblemen, Numerik, Computeralgebra und Wirtschaftstheorie, wo sie stabile Gleichgewichte oder Iterationspunkte darstellen.