SchauderFixpunkSatz

Der Schauder-Fixpunktsatz, auch Schauder-Fixpunktsatz genannt, ist ein zentraler Satz der Funktionalanalysis. Er erweitert den Brouwer-Fixpunktsatz auf unendlich-dimensionale Räume und wurde von Juliusz Schauder in den 1930er Jahren formuliert. Der Satz liefert Bedingungen, unter denen eine Abbildung einen Fixpunkt besitzt, ohne dass der zugrunde liegende Raum kompakten Strukturen folgt.

Formulierung. Sei X ein Banachraum und C eine nichtleere, abgeschlossene, konvexe Teilmenge von X, die beschränkt ist. Sei T: C zu C eine stetige Abbildung mit T(C) relativ kompakt, das heißt der Abschluss von T(C) ist kompakt. Dann besitzt T mindestens einen Fixpunkt x in C, das heißt T(x) = x. In einer häufig verwendeten Spezialversion genügt die Annahme, dass C selbst eine nichtleere, kompakte konvexe Teilmenge von X ist und T: C -> C stetig ist; auch hier folgt dann ein Fixpunkt.

Bemerkungen. Der Kern des Schauder-Satzes liegt in der Relativkompaktheit von T(C) bzw. der Kompaktheit von C, was eine Art kompakten Abbildungscharakter in unendlichen Dimensionen herstellt und eine Annäherung an argumentative Fixpunktbeweise ermöglicht. Ohne diese kompakte Eigenschaft kann ein Bild von T auf einer beschränkten Menge in unendlich-dimensionalen Räumen kein Allgemeinreservoir für einen Fixpunkt liefern.

Anwendungen. Der Schauder-Fixpunktsatz ist eine fundamentale Existenzsatz in der Nichtlinearanalyse, insbesondere bei Randwertproblemen und Integralgleichungen, sowie bei der Existenz von Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen. Er dient oft als erster Schritt, um schließlich mittels weiterer Techniken konkrete Lösungen zu identifizieren oder abzuschätzen.

Historisch gehört der Satz zu den grundlegenden Werkzeugen der Funktionalanalysis; er ist eine unendliche Generalisierung des Brouwer-Fixpunktsatz und wird in vielen Bereichen der Mathematik verwendet.