Ereignisraten

Ereignisraten bezeichnen in Statistik und Wahrscheinlichkeit die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit oder pro Beobachtungseinheit. Sie werden verwendet, um die Häufigkeit von Vorfällen wie Todesfällen, Ausfällen, Ankünften oder anderen Ereignissen zu quantifizieren. In vielen Bereichen unterscheidet man zwischen einer konstanten Rate und einer zeitabhängigen Rate: eine konstante Rate führt zu einem homogenen Poissonprozess, eine zeitabhängige Rate zu einem inhomogenen Poissonprozess.

Formal beschreibt man die Rate durch eine Intensitätsfunktion λ(t). Bei einem homogenen Poissonprozess ist λ(t) konstant und gilt E[N(t)] = λ t, wobei N(t) die Anzahl der bis t aufgetretenen Ereignisse ist. Bei einem inhomogenen Prozess gilt E[N(t)] = ∫0^t λ(u) du und N(t) hat unabhängig inkrementelle Poisson-Verteilungen mit Parametern Λ(t2)−Λ(t1) = ∫t1^t2 λ(u) du. In der Risiko- und Überlebensanalyse wird oft der Hazard-Raten h(t) verwendet, der die instantaneous Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses pro verbleibender Zeit beschreibt: h(t) = f(t)/S(t), wobei f die Dichte des Ereigniszeitpunkts und S die Überlebensfunktion ist.

Bezug zu praktischen Größen bildet oft die Inzidenzrate (incidence rate) in der Epidemiologie oder die Ausfallrate in der Zuverlässigkeitstechnik. Diese beschreibt Ereignisse pro personenzeiteinheit oder pro Stunde/Tag, je nach Kontext. Schätzmethoden umfassen einfache Schätzungen n/T (Anzahl der beobachteten Ereignisse durch beobachtete Zeit) sowie fortgeschrittene Modelle wie Poisson-Regression oder Kernel-Smoothing für zeitabhängige λ(t).

Wichtige Unterscheidungen: Die Ereignisrate ist eine Erwartungsgröße und nicht direkt die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses; bei kleinen Zeiten t kann P(N(t) ≥ 1) annähernd λ t entsprechen.