Erwartungsgröße

Erwartungsgröße, deutschensprachig auch Erwartungswert genannt, bezeichnet den durchschnittlichen Wert, den man bei wiederholten Durchläufen eines Zufallsexperiments erwarten kann. In der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Erwartungsgröße einer Zufallsvariablen X definiert als

E[X]=∑xᵢP(X=xᵢ) für diskrete X oder

E[X]=∫ x f_X(x) dx für stetige X,

wobei f_X die Dichte von X ist.

Der Erwartungswert beschreibt also das langfristige Mittel einer Zufallsvariable. Er besitzt die lineare Eigenschaft E[aX+b]=aE[X]+b, was die Handhabung in Rechenaufgaben erleichtert. Außerdem gilt der Totale Erwartungswertsatz: E[X] = E[E[X|Y]], was in vielen theoretischen und praktischen Bereichen Anwendung findet.

Übliche Beispiele sind das Werfen eines fairen Würfels (E[Würfel]=3,5) oder die Größe beim Ziehen einer Kugel aus einer Urne. In der Statistik ist der Erwartungswert die Grundidee hinter Stichprobenmittelwerten, die uneingeschränkt auf die Population als Schätzer wirken. In der Ökonometrie dient er zur Modellierung von Prognosen und zur Messung des erwarteten Einkommens.

Die Begriffe haben ihren Ursprung im 18. Jahrhundert bei Bernoulli, der die Grundidee des „Rationalen Spielens“ entwickelte, und wurden später von Laplace formalisiert. Heute sind Erwartungswerte, Bedingte Erwartungswerte und weitere Momenten, wie die Varianz, zentrale Konzepte in der stochastischen Modellierung.

Zusammenfassend ist die Erwartungsgröße ein zentrales Maß in Wahrscheinlichkeit und Statistik, das das erwartete Ergebnis eines Zufallsexperimentes quantifiziert und als Grundlage für Theorie und Praxis dient.