Intensitätsfunktion

Die Intensitätsfunktion, auch Intensität eines Punktprozesses genannt, beschreibt die unmittelbare Ereignisrate zu einem Zeitpunkt t. Formal wird sie als bedingte Zuweisung der erwarteten Zuwachsrate des Zählprozesses N(t) beschrieben: λ(t) = lim_{h→0} E[N(t+h)−N(t) | F_t] / h, wobei F_t die Geschichte bis Zeitpunkt t enthält. In Worten gibt sie an, mit welcher Rate Ereignisse im infinitesimalen Intervall um t erwartet werden, abhängig von der bisherigen Entwicklung.

Für einen nicht-homogenen Poissonprozess ist λ(t) eine deterministische Funktion. Die integrierte Intensität Λ(t) = ∫0^t λ(u) du misst die erwartete Anzahl der Ereignisse bis t; N(t) hat dann die Verteilung Poisson(Λ(t)). Im Gegensatz dazu kann λ(t) auch stochastisch sein und in generellen Punktprozessen als bedingte Intensität λ(t|F_t) auftreten, also die bedingte Rate gegeben F_t.

Die Theorie verbindet Intensität, Kompensator und Martingale: Λ(t) = ∫0^t λ(u|F_u) du ist der Kompensator, und N(t)−Λ(t) kann unter geeigneten Bedingungen ein Martingale sein. In multivariaten oder räumlich-zeitlichen Punktprozessen erweitert man das Konzept auf λ_i(t|F_t).

Anwendungen: Intensitätsfunktionen modellieren zeitabhängige Ereignisraten in der Epidemiologie, Neurowissenschaften, Telekommunikation, Erdbebenvorhersage und Lebenszeitanalysen. Schätzung erfolgt oft durch Maximum-Likelihood bei Punktprozessen, Kernel- oder Splines-Methoden, oder durch spektrale bzw. GLM-basierte Ansätze.