Zählprozesses

Zählprozesses, auch counting processes, sind stochastische Prozesse, die die Anzahl von Ereignissen in einem zeitlichen Intervall zählen. Formell ist ein Zählprozess N(t) eine Funktion von t ≥ 0 in die nichtnegativen ganzen Zahlen mit N(0) = 0, die nicht fallend, sprunghaft und recht-auf-lage (cadlag) ist. Die Sprünge treten nur in den Zeitpunkten von Ereignissen auf und haben in der Regel die Größe 1; zwischen den Ereignissen bleibt der Wert konstant. Zählprozesse modellieren, wie viele Vorkommnisse einer bestimmten Art in [0, t] auftreten.

Allgemein muss ein Zählprozess keine spezifischen Verteilungs- oder Abfluss-Eigenschaften besitzen. In Abhängigkeit von der konkreten Modellierung können die Zuwächse N(t) − N(s) über verschiedene Zeitabschnitte unabhängig oder nicht unabhängig sein, und sie können stationär oder nicht stationär sein. Solche Merkmale unterscheiden allgemeine Zählprozesse von speziellen Modellen wie dem Poissonprozess.

Der Poissonprozess ist der bekannteste Spezialfall. Er besitzt unabhängige und stationäre Zuwächse, d. h. N(t) − N(s) hat für alle s < t die Verteilung Poisson(λ(t − s)) mit Intensität λ > 0. Die Times between events (Interarrival times) sind unabhängig exponentiell mit Parameter λ; folglich N(t) hat Erwartungswert E[N(t)] = λt und Varianz Var[N(t)] = λt.

Weitere Klassen umfassen Erneuerungsprozesse (renewal processes), bei denen die Interarrival-Zeiten i.i.d. sind, jedoch nicht notwendigerweise exponentiell. Zählprozesse finden breite Anwendung in Warteschlangentheorie, Zuverlässigkeit, Verkehrsmodellierung und Neurowissenschaften.