Equivalentieverschillen

Equivalentieverschillen is een term die wordt gebruikt om de verschillen te beschrijven tussen twee equivalentie-relaties op dezelfde verzameling. Ze verwijzen naar de mate waarin twee relaties dezelfde elementen als equivalent beschouwen en waar zij in hun classificatie van elementen van elkaar afwijken. Het begrip is vooral relevant in de studie van partitities die door de relaties worden opgelegd, bijvoorbeeld bij de analyse van equivalentieklassen of bij clustering.

Formeel gezien: laat S een verzameling zijn en laat ~A en ~B twee equivalentie-relaties op S zijn. De verzameling D(A,B) van verschillen kan op verschillende manieren worden gedefinieerd. Een veelvoorkomende definitie is de verzameling paren (x,y) in S×S waarvoor x ~A y maar niet x ~B y. Een symmetrische aanduiding beschrijft de volledige discrepantie tussen de twee partitities die ze opleggen; dit wordt vaak uitgedrukt als de symmetrische verschil van de partitions P_A en P_B die door ~A en ~B worden opgelegd. Een belangrijke gerelateerde notie is refinements-relatie: als x ~A y impliceert x ~B y, dan is A fijner dan B.

Voorbeeld: neem S = {1,2,3,4}, met ~A die {1,2} en {3,4} als klassen heeft, en ~B die {1,3} en {2,4} heeft. Dan zijn paren zoals (1,2) en (3,4) voorbeelden van verschillen, omdat ze onder A wel maar onder B niet equivalent zijn; omgekeerd geldt hetzelfde voor (1,3) en (2,4). Dit illustreert hoe twee equivalentie-relaties verschillende partitions opleveren.

Toepassingen: equivalentieverschillen zijn relevant bij het vergelijken van partitions in de combinatoriek, informatica en data-analyse, bijvoorbeeld bij evaluatie van clustering en bij het meten van overeenstemming tussen verschillende classificaties (zoals Rand-indexen). Zie ook equivalentie-relatie, partitietheorie en clustering.