EinzelwertEinzelwerte

EinzelwertEinzelwerte ist in der Mathematik ein Begriff, der überwiegend als Synonym zu Eigenwert und Eigenwerte verwendet wird. Der Ausdruck Einzelwert wird seltener genutzt und gilt in modernen Texten als veraltet; die gängigeren Bezeichnungen lauten Eigenwert im Singular und Eigenwerte im Plural.

Sei A eine quadratische Matrix. Ein Wert λ ist ein Einzelwert von A, wenn es einen Vektor v ≠ 0 gibt mit Av = λv. Der Vektor v heißt Eigenvektor zu λ. Entsprechend lässt sich λ als Nullstelle der charakteristischen Gleichung det(A − λI) = 0 bestimmen, wobei I die Einheitsmatrix ist. Die Lösung liefert alle Eigenwerte von A; die algebraische Vielfachheit von λ entspricht der Vielfachheit als Wurzel des Polynoms, die geometrische Vielfachheit entspricht der Dimension des Eigenraums.

Eigenschaften: Für reelle Matrizen können Eigenwerte reell oder komplex sein; komplexe Werte treten meist paarweise auf. Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar über dem Grundfeld, wenn es genügend linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Die Eigenwerte liefern wesentliche Informationen über Dynamik, Stabilität und Langzeitverhalten von Systemen, z. B. in Differentialgleichungen oder Markov-Ketten.

Berechnung und Anwendungen: Reine Algebraisch-Lösung erfordert das Lösen des charakteristischen Polynoms; praktisch werden numerische Methoden wie QR-Algorithmus, Power-Iteration oder Jacobi-Verfahren eingesetzt. Das Spektrum der Matrix, also die Menge der Eigenwerte, bestimmt grundlegende Eigenschaften wie die Diagonalisierbarkeit und die Stabilität von Systemen.