Domänenrechner

Domänenrechner, auch Domainrechner, sind Werkzeuge oder Bausteine von Computer-Algebra-Systemen, die den Definitionsbereich einer mathematischen Ausdrucksform bestimmen. Der Definitionsbereich, die Domäne, umfasst alle Werte der Eingangsvariable(n), für die der Ausdruck sinnvoll definiert ist und reale oder komplexe Werte annimmt, je nach gewählter Zahlensystem. Domänenrechner kommen in der Lehre, in CAS-Software und in grafikfähigen Taschenrechnern zum Einsatz, um Funktionen eindeutig zu charakterisieren und Fehler beim Plotten zu vermeiden.

Funktionsweise und Merkmale: Domänenrechner parsen den Ausdruck, prüfen Vorbedingungen wie Nenner ungleich null, Radikanden, Argumente von Logarithmen und Exponenten, und berücksichtigen Bereichseinschränkungen bei Wurzeln, Potenzen oder Beträgen. Sie ermitteln durch Symbolmanipulationen die Mengen der zulässigen Eingaben, oft als Intervallvereinfachungen oder als Vereinigung mehrerer Intervallmengen. Kompositionen, Parameterwerte und Fallunterscheidungen müssen einbezogen werden, sodass das Ergebnis als Intervall, Vereinigung von Intervallen oder als formale Domänenmenge vorliegen kann.

Beispiele: Für f(x) = sqrt(x-2) ist der Definitionsbereich x >= 2. Bei g(x) = 1/(x^2-1) gilt x ≠ -1 und x ≠ 1. Für h(x) = log(x-5) ist x > 5. Bei k(x) = sqrt(1-x^2) ergibt sich -1 <= x <= 1. Komplexere Ausdrücke oder Parameter erfordern oft zusätzliche Annahmen oder Fallunterscheidungen.

Anwendung und Grenzen: Domänenrechner unterstützen mathematische Analyse, Graphing und Validierung von Ausdrücken. In vielen CAS wie Mathematica, Maple oder SymPy integrieren sie solche Funktionalitäten; Einschränkungen ergeben sich bei sehr komplexen oder mehrdeutigen Ausdrücken sowie bei Übergängen zwischen reeller und komplexer Domäne.