Zahlensystem

Ein Zahlensystem ist ein System zur schriftlichen Darstellung von Zahlen. Es ordnet Zahlen nach einem Basiswert oder Radix, wobei die Stellung der Ziffern den Wert bestimmt. Die gängigsten Systeme sind positional, bei denen der Wert jeder Ziffer durch ihren Stellenwert als Potenz der Basis festgelegt wird; nicht-positionalen Systemen fehlen solche Stellenwerte, zum Beispiel in römischen Ziffern.

Die Basis B bestimmt die Menge der Ziffern (0 bis B−1) und die Gewichtung jeder Stelle als B^k. Beispiele: Dezimalsystem (B=10, Ziffern 0–9); Binärsystem (B=2, Ziffern 0–1); Oktalsystem (B=8, Ziffern 0–7); Hexadezimalsystem (B=16, Ziffern 0–9 und A–F). Eine Zahl wird geschrieben wie 237 in Dezimalnotation, das entspricht 2·10^2 + 3·10^1 + 7·10^0.

Umrechnungen zwischen Basen erfolgen durch wiederholte Division bzw. Multiplikation; arithmetische Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lassen sich in jedem Basis-System durchführen. In der Informatik spielt die Binärdarstellung eine zentrale Rolle; negative Zahlen werden dort oft im Zweierkomplement dargestellt, und Fließkommazahlen folgen standardisierten Repräsentationen.

Historisch entwickelten sich Zahlensysteme in verschiedenen Kulturen. Das heute verbreitete dezimale System stammt aus dem Hindu-Arabischen Schriftsystem, einschließlich der Null. Andere Systeme waren das sexagesimale System der Babylonier (Basis 60) oder das vigesimale System der Maya (Basis 20). Heutzutage wird die Basenwahl je nach Anwendung gewählt, etwa Binär und Hexadezimal in der Informatik.