Distanzmaß

Distanzmaß bezeichnet in Mathematik, Statistik und Informatik eine Funktion, die zwei Elemente einer Menge X ein nicht negatives Maß zuordnet und damit deren räumliche Trennung quantifiziert. Formal ist es eine Abbildung d: X × X → [0, ∞). Distanzmaße dienen als Grundlage für Abstände in Datenräumen, Clustering, Nearest-Neighbor-Suchen und vielen anderen Verfahren.

In vielen Fällen wird von einer Metrik gesprochen, wenn das Distanzmaß die vier Axiome einer Metrik erfüllt: Nichtnegativität, Identität der Indistinguishierbarkeit (d(x,y)=0 genau dann, wenn x=y), Symmetrie (d(x,y)=d(y,x)) und Dreiecksungleichung (d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z)). Wird eines dieser Axiome gelockert, spricht man von Pseudometrik (bei fehlender Identität) oder von einer generellen Distanzfunktion, die nicht notwendig eine Metrik ist.

Zu den gängigsten Distanzmaßen gehören die Lp-Normen als spezielle Fälle der Minkowski-Distanzen: Die Euclideische Distanz d2(x,y)=√∑(xi−yi)², die Manhattan-Distanz d1(x,y)=∑|xi−yi| und die Chebyshev-Distanz d∞(x,y)=max|xi−yi|. Allgemein lässt sich eine gewichtete Lp-Distanz d_p(x,y)=(∑ wi|xi−yi|^p)^{1/p} verwenden. Hamming-Distanz zählt Unterschiede in Zeichenfolgen gleicher Länge. Dynamische Zeitkern-Distanzen wie DTW sind Distanzmaße, die nicht immer eine Metrik erfüllen.

Anwendungen umfassen Clustering (z. B. K-Means), Klassifikation, Dimensionalitätsreduktion, Mustererkennung und Ähnlichkeitsbewertungen. Bei der Wahl eines Distanzmaßes sind Skalierung, Dimensionalität, Robustheit gegenüber Ausreißern und die zugrunde liegende Struktur der Daten zu berücksichtigen.