Distanzmaßes

Distanzmaßes, auch Distanz- oder Abstandsmaße genannt, sind Funktionen, die zwei Objekte aus einer definierten Menge X durch eine nicht negative Zahl d(x,y) zuordnen. Sie quantifizieren Unähnlichkeiten oder Ähnlichkeiten und finden Anwendung in Statistik, maschinellem Lernen und Informatik. Oft unterscheidet man metrische Abstände von distanzbasierten Maßen, die Axiomen einer Metrik nicht vollständig erfüllen.

Eine Metrik erfüllt typischerweise vier Axiome: Nicht-Negativität, Identität der Indistinguishierbaren (d(x,y)=0 genau dann, wenn x=y), Symmetrie und Dreiecksungleichung. Werden diese Axiome modifiziert oder verletzt, spricht man von Pseudometrik (Identität kann verletzt), Semimetik (Dreiecksungleichung verletzt) oder asymmetrischen Distanzmaßen. Gängige Maße unterscheiden sich zudem in der Art der Daten und der Ausprägung ihrer Sensitivität gegenüber Ausreißern.

Zu den verbreitetsten Distanzmaßen zählen: Euclidean distance d_E(x,y) = sqrt(sum_i (x_i - y_i)^2); Manhattan distance d_M(x,y) = sum_i |x_i - y_i|; Chebyshev distance d_inf(x,y) = max_i |x_i - y_i|; Minkowski distance d_p(x,y) = (sum_i |x_i - y_i|^p)^{1/p} (p ≥ 1). Weitere Beispiele: Hamming distance d_H für gleich lange Zeichenketten; Jaccard distance d_J = 1 - |A ∩ B| / |A ∪ B|; Cosine distance d_C = 1 - (x·y)/(||x|| ||y||).

Die Wahl hängt vom Datentyp ab (numerisch, binär, kategorial), von der Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern und vom Rechenaufwand. Distanzmaße bilden die Grundlage von Clustering, k-NN, multidimensionaler Skalierung und Distanzlernen.