Nichtnegativität

Nichtnegativität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft, dass Werte nicht negativ sind. Formal gilt eine Funktion f: D → R oder eine Variable x, eine Matrix A oder ein Vektor v als nichtnegativ, wenn alle relevanten Werte größer oder gleich Null sind. Eine Zahl a ist nicht negativ, wenn a ≥ 0; eine positive Zahl erfüllt a > 0, aber Nichtnegativität schließt Null ein.

In verschiedenen Kontexten bezieht sich Nichtnegativität auf unterschiedliche Objekte. Für eine Funktion f: D ⊆ R^n → R bedeutet Nichtnegativität, dass f(x) ≥ 0 für alle x in D. Ein Vektor v ∈ R^n ist nichtnegativ, wenn alle Komponenten v_i ≥ 0. Eine Matrix A ∈ R^{m×n} ist nichtnegativ, wenn alle Einträge A_{ij} ≥ 0. In Optimierungsproblemen treten Nichtnegativitätsbedingungen häufig als Nebenbedingungen auf, z. B. x_i ≥ 0 für alle i, um Mengen, Wahrscheinlichkeiten oder physikalische Größen abzubilden.

Anwendungen finden sich in linearem und konvexem Programmieren, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Maschinellem Lernen. Nichtnegativität sorgt oft für sinnvolle Interpretationen (z. B. Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten, Volumina) und kann die Stabilität und Effizienz von Algorithmen unterstützen.

Hinweis: Nichtnegativität ist nicht dasselbe wie Positivität. Letztere bezeichnet Werte größer als Null. In der linearen Algebra unterscheidet man zudem zwischen nichtnegativen Einträgen einer Matrix und der Eigenschaft der Positivität oder Semideffinitheit von Matrizen, die in anderen Kontexten relevant ist.