Dirichletfunctie

Dirichletfunctie, ook wel de indicatorfunctie van de rationelen genoemd, is een klassieke voorbeeldfunctie in de analyse. Gedefinieerd op de hele reële lijn door f(x) = 1 als x rationaal is en f(x) = 0 als x irrationaal is, is zij begrensd en neemt slechts de waarden 0 en 1 aan.

Een fundamentele eigenschap is dat zij op geen enkel punt continu is. In elke open buurt van elk punt bevinden zich zowel rationalen als irrationale getallen, zodat de functie voortdurend van waarde verandert tussen 0 en 1. Hierdoor is de Dirichletfunctie discontinu op alle punten van het domein.

Wat betreft integratie vormt zij een bekend onderscheid tussen Riemann- en Lebesgue-integratie. Op elk interval [a,b] is de Dirichletfunctie niet Riemann-integreerbaar: de set van discontinuïteiten beslaat het hele interval, en de onderste Riemann-som blijft 0 terwijl de bovenste som 1 times de lengte van het interval, waardoor deze limieten nooit samenvallen. Daarentegen is de functie Lebesgue-integreerbaar op elk interval met waarde 0, aangezien de rationele punten een maat nul hebben; de bijdrage van f(x) = 1 aan het integrand wordt gemarginaliseerd tot nul in de Lebesgue-systeem.

De Dirichletfunctie dient vaak als illustratie van verschillen tussen concepten in analyse: een begrensde functie die niet Riemann-integreerbaar is maar wel Lebesgue-integreerbaar. Ze wordt ook gebruikt om te laten zien dat indicatorfuncties van dichtbijgelegen verzamelingen kunnen leiden tot overal discontinuïteit. Een gerelateerd voorbeeld is Thomae’s functie, dat wel continu is op irrationals maar niet op rationals.