Differentiërbaar

Differentiërbaar is een wiskundige eigenschap van een functie die aangeeft dat op een punt een lineaire benadering bestaat die de functie lokaal nauwkeurig beschrijft. In de praktijk betekent dit dat de verandering van de functie in de buurt van het punt volledig wordt vastgelegd door een lineaire kaart.

In één variabele: een functie f van een open interval naar de reële getallen is differentiërbaar in een punt a als de afgeleide f'(a) bestaat. Deze afgeleide is de limiet van de quotiënt (f(a+h) − f(a))/h bij h → 0 en geeft de richtingscoëfficiënt van de beste lineaire benadering f(a) + f'(a) h. Differentiërbaarheid in een punt impliceert continuïet van f daar.

In meerdere variabelen: als f: U ⊂ R^n → R^m differentiërbaar is in a ∈ U, bestaat er een lineaire kaart L: R^n → R^m zodanig dat f(a+h) = f(a) + L(h) + o(‖h‖) bij h → 0. De lineaire kaart L wordt voor m = 1 vaak weergegeven door de Jacobiaan J_f(a); in het geval m = 1 is L(h) = ∇f(a) · h.

Relaties en voorbeelden: differentiërbaarheid impliceert continuïteit van de functie, maar het bestaan van de afgeleide hoeft niet te garanderen dat de afgeleide zelf continu is. Voorbeelden: polynomen, exponentiële en trigonometrische functies zijn overal differentiërbaar. Functies met een hoek, zoals |x| bij x = 0, zijn niet differentiërbaar in dat punt. In hogere dimensies kunnen functies met scherpe randen geen differentiërbaar punt hebben. Differentiabiliteit wordt vaak ingeperkt met klassen als C^k: k-voudig continu differentieerbaar; C^∞ betekent oneindig differentiërbaar.