Differentiationsoperatoren

Differentiationsoperatoren bezeichnet in der Mathematik Abbildungen, die einer Funktion ihre Ableitung zuordnen. Im eindimensionalen Fall ist der Operator D definiert durch (Df)(x) = f′(x). In mehreren Variablen werden partielle Differentiationsoperatoren verwendet, etwa ∂/∂x_i, die die partielle Ableitung von f nach der Koordinate x_i liefern. Häufige Erweiterungen führen zu höheren Ordnungen oder zu allgemeinen linearen Differentialoperatoren der Form D = ∑_{|α|≤m} a_α(x) ∂^α, wobei α mehrschrittige Ordnungen bezeichnet und die Koeffizienten a_α Funktionen sein können.

Eigenschaften: Differentiationsoperatoren sind linear, D(af + bg) = a Df + b Dg. Für Produkte gilt die Leibnizregel D(fg) = f′g + fg′. Höhere Ordnungen ergeben D^n f = f^{(n)}. Bei mehreren Variablen lässt sich der Operator durch Vektordifferentiation und directional derivatives verallgemeinern; D_v f = ∑ v_i ∂f/∂x_i. In der Analysis bilden solche Operatoren die Grundlage vieler partieller Differentialgleichungen.

Domänen und Erweiterungen: D ist definiert auf geeigneten Funktionsräumen, zum Beispiel C^1(U) oder C^∞(U). In der Verteilungstheorie lässt sich D auf Verteilungen erweitern, wodurch Ableitungen auch für nicht glatte Funktionen sinnvoll werden. In Sobolev- und L^p-Räumen ist der Ableitungsoperator oft unbeschränkt; der natürliche Definitionsbereich ist je nach Raum der Sobolev-Derivate.

Zusammenhang mit Transformationsmethoden und Physik: Im Fourierbereich wird D durch Multiplikation mit iξ vereinfacht (je nach Konvention). In der Quantenmechanik entspricht der Operator −i d/dx dem Impulsoperator und ist auf passenden Domänen selbstadjungiert. Differentiationsoperatoren bilden damit eine zentrale Klasse linearer Differentialoperatoren in Mathematik und Anwendungen.