Dichtungsungleichheiten

Dichtungsungleichheiten sind Ungleichungen, die Dichtungen (Dichten) von Wahrscheinlichkeit oder Maß verglichen. Sie beziehen sich typischerweise auf Wahrscheinlichkeitsdichten oder Radon-Nikodym-Dichtefunktionen zweier Verteilungen bezüglich eines gemeinsamen Grundmaßes, üblicherweise dem Lebesgue-Maß. Ziel ist es, punktweise zu bestimmen, wie stark eine Dichte eine andere beschränkt oder dominiert.

Formell betrachtet man zwei Wahrscheinlichkeitsmaße P und Q auf einem messbaren Raum, mit Dichten f und g relativ zu μ. Ist eine Konstante C≥1 gegeben, so dass f ≤ C g μ-a.e., gilt für alle messbaren A: P(A) ≤ C Q(A). Äquivalent gilt dP/dQ = f/g ≤ C fast überall, wo g>0. Umgekehrt liefert eine ähnliche Ungleichung mit g ≤ C' f entsprechende Dominanz in die andere Richtung. Aus solchen Ungleichheiten folgen oft weitere Folgerungen.

Folgen und Anwendungen: Die Ungleichheiten liefern Dominanzbeziehungen zwischen Verteilungen und zeigen, dass P absolut kontinuierlich zu Q in Beziehung steht; sie liefern auch Ober- oder Untergrenzen für Erwartungen: Für alle nichtnegativen Funktionen h gilt E_P[h] ≤ C E_Q[h]. Solche Ergebnisse sind nützlich in der Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten, beim Importance Sampling, beim Vergleich von Modellen sowie im Rahmen von Likelihood-Ratio-Tests.

Zusammenhang: Dichtungsungleichheiten hängen eng mit dem Radon-Nikodym-Derivat dP/dQ zusammen und bilden eine einfache Form der Kontrolle von Verteilungsunterschieden durch punktweise Dichtungsvergleiche.